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1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n[答案] C[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.2．(2013·辽师大附中高二期中)(1＋x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是( )A．第＋1项 B．第n项C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项[答案] C[解析] 展开式中共有2n＋1项，中间一项为第n＋1项，故选C.3．若n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于( )A．210 B．120 C．461 D．416[答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C＝210.4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] A[解析] a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，奇数的个数是2，故选A.5．(2013·辽师大附中高二期中)若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( )A．奇数 B．偶数C．3的倍数 D．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，n＋1为偶数，n为奇数．6.8的展开式中x4项的系数是( )A．16 B．70 C．560 D．1120[答案] D[解析] 考查二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r＝C·2r·x16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C24＝1120.二、填空题7．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.8．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.[答案] 1[解析] 由Tr＋1＝Cx9－rr＝(－a)rCx9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C＝－84，解得a＝1.9．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，2n＝8，n＝3.三、解答题10．试判断7777－1能否被19整除？[解析] 7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．[点评] 在利用二项式定理证明整除问题或求余数的问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.能力拓展提升一、选择题11．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )A．第9项 B．第10项C．第19项 D．第20项[答案] D[解析] (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D.12．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )A．0 B．2 C．7 D．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.13．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )A．28 B．38 C．1或38 D．1或28[答案] C[分析] 令Tr＋1项中x的指数为0可求得常数a的值；在二项展开式中当x＝1时即得各项系数的和．[解析] Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C＝1120，a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.14．(2013·长春十一高中高二期中)若a为正实数，且(ax－)2014的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2014项为( )A. B．－C. D．－[答案] D[解析]由条件知，(a－1)2014＝1，a－1＝±1，a为正实数，a＝2.展开式的第2014项为：T2014＝C·(2x)·(－)2013＝－2C·x－2012＝－4028x－2012，故选D.二、填空题15．(2013·长春市十一高中高二期中)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于nN*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.[答案] [解析] 观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝.16．(2013·福州文博中学高二期末)若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为________．[答案] 6[解析] 令f(x)＝x3，则a0＝f(2)＝8a0＋a1＋a2＋a3＝f(3)＝27a0－a1＋a2－a3＝f(1)＝1②＋得，a0＋a2＝14①代入得，a2＝6.三、解答题17．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析] 令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.①＋得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.18．在(－)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析] (1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r＝C·(x)n－r·(－·x－)r＝(－)r·C·x.∵第6项为常数项，r＝5时有＝0，n＝10.(2)令＝2，得r＝2，所求的系数为C(－)2＝.(3)根据通项公式，由题意得：令＝k(kZ)，则10－2r＝3k，即r＝＝5－k.0≤r≤10，0≤5－k≤10，－3≤k≤3，又k应为偶数，k可取2,0，－2，r＝2,5,8，第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，C·(－)8·x－2.即x2，－和.1．设(5x－)n的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )A．－150 B．150 C．300 D．－300[答案] B[解析]令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240.解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－ r，令4－r＝1得r＝2，当r＝2时，展开式中x的系数为C52＝150.故选B.2．若二项式(x2－)n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为( )A．－240 B．－160 C．160 D．240[答案] D[解析] 由条件知2n＝64，n＝6，Tr＋1＝C(x2)6－r·(－)r＝(－1)r·2r·Cx12－3r令12－3r＝0得r＝4，常数项为T5＝24·C＝240.3．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．[解析] (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010与式联立，－得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(3)Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，a2k－1<0(kN*)，a2k>0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.
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